Mất bao lâu để rơi xuyên qua tâm Trái Đất tới nửa bên kia theo phương thẳng đứng?
Giả sử bạn đào một đường hầm dài tới tâm Trái Đất, nhảy vào đó và để trọng lực kéo bạn xuống. Mất bao lâu thì bạn mới tới được bên kia địa cầu? Năm nào các sinh viên vật lí cũng phải học bài này và câu trả lời đúng là 42 phút. Giờ đây, phân tích thực tế cho thấy đáp án đúng thực ra ngắn hơn như vậy 4 phút.
"Đây là loại bài toán mà ai cũng hứng thú", David Jackson – một nhà vật lí học tại Đại học Dickinson tại Carlise, Pennsylvania và biên tập viên tạp chí Vật Lí Mỹ do Hiệp hội giáo viên vật lí Mỹ phát hành. Bài giải mới được in trong tập san tháng 3 không chỉ thay đổi nhiều về các hằng số thể hiện cấu trúc trái đất, mà còn giải thích tại sao nếu bạn thay đổi một giả thiết cơ bản trong bài toán bằng một giả thiết khác mà vẫn cho ra đáp án đúng. "Đó là lí do tại sao bài toán rất hấp dẫn", Jackson nói.
Bài toán đường hầm trọng lực là một tập hợp các vấn đề cơ bản của vật lí vì nó vừa thể hiện những quy luật thiết yếu của định luật lực hấp dẫn của Newton và quy luật của chuyển động theo chu kì. Để giải bài toán này, sinh viên phải tính được cách mà trọng lực tác động lên vật thay đổi theo quá trình rơi trong đường hầm.
Trái đất có mật độ đồng đều: khoảng 5500kg mỗi mét khối.
Một giả thiết thiếu thực tế được áp dụng, đó là giống như một quả bóng billard, Trái đất có mật độ đồng đều: khoảng 5500kg mỗi mét khối. Trong trường hợp lí tưởng đó, mức độ mà trọng lực tác động lên bạn thay đổi tỉ lệ theo khoảng cách tới tâm trái đất. Đó là vì khi bạn rơi ngày càng sâu xuống đường hầm, khối lượng vật chất bên dưới ngày càng thấp và áp lực từ khối lượng vật chất phía trên ngày càng giảm.
Do lực kéo bạn về tâm có tỉ lệ đối với khoảng cách tới tâm Trái Đất, bạn sẽ di chuyển tới và lui giữa hai đầu đường hầm giống như con lắc đồng hồ lắc trái – phải. Bài toán đường hầm trọng lực được sử dụng trong giảng dạy vì đó là một ví dụ điển hình cho chuyển động tuần hoàn đơn giản.
Trên thực tế, rõ ràng Trái Đất không có mật độ vật chất đồng đều như vậy, mà có lớp vỏ mật độ thấp và lõi mật độ cao.
Alexander Klotz, một sinh viên năm đã tốt nghiệm khoa vật lí tại đại học McGill, Montreal, Canada đã bắt đầu tìm tới một kết quả phân tính thực tế hơn. Klotz cho biết đó là một câu hỏi thường gặp trên mục khoa học của Reddit.
Để có số liệu thực tế hơn về mật độ vật chất của Trái Đất, Klotz đã sử dụng mô hình tham chiếu sơ bộ của Trái Đất, dựa trên các số liệu địa chấn. Kết quả là mật độ vật chất tại bề mặt là khoảng 1 tấn mỗi mét khối và khoảng 13 tấn mỗi mét khối tại vị trí 6.371km dưới mặt đất. Sau khi tính toán, kết quả cho thấy một vật thể sẽ mất 38 phút 11 giây để rơi xuyên qua đường hầm thực, so với 42 phút 12 giây với đường hầm lí tưởng.
Sự phân bố mật độ vật chất của Trái Đất khiến cho trọng lực thực ra không đổi nhiều.
Kì lạ thay, Klotz thấy rằng đáp án vẫn giữ nguyên nếu ta để trọng lực là một hằng số, không thay đổi trong suốt quá trình rơi. Để có được lực không đổi như vậy mật độ vật chất phải được bố trí một cách đặc biệt làm sao cho khi khoảng cách tới tâm giảm 1 nửa thì mật độ vật chất tăng gấp đôi và đạt tới vô cực tại tâm (thực tế thì trọng lực giảm xuống bằng không tại tâm và mật độ ở tâm không đạt đến vô cực).
Vậy tại sao nếu cho rằng trọng lực không đổi, đáp án vẫn đúng? Đó là vì sự phân bố mật độ vật chất của Trái Đất khiến cho trọng lực thực ra không đổi nhiều – chỉ tăng cao hơn một chút – cho tới vị trí phần lõi. Sau khi đi qua vị trí đó, trọng lực giảm dần giống như trong bài giải gốc. Vấn đề là tại thời điểm đó, vật thể sẽ có vận tốc vô cùng lớn nó đi qua phần lõi Trái Đất trong nháy mắt, nơi mà giả thiết trọng lực không đổi trở nên vô lí. Vậy nên kể cả có cho trọng lực không đổi thì đáp án vẫn ra như vậy.
Chính điều này là điều khiến bài giải mới thú vị. Cách giải cũ không thể bị bác bỏ, nhưng cách giải này là một kiến thức bổ sung thú vị cho bài toán.