Các ý tưởng toán học trừu tượng cũng đẹp như những tác phẩm nghệ thuật, âm nhạc

Một bức tranh phong cảnh đẹp, một bản sonata piano hay-đó lá những từ miêu tả thẩm mỹ, cái đẹp khi nói đến nghệ thuật và âm nhạc. Còn toán học thì sao, liệu có thể nói về một ý tưởng trừu tượng bằng từ "đẹp", ngoài những từ thường dùng như hữu ích, thông minh?

Câu trả lời là có thể. Và đó không chỉ là nhận định của riêng các nhà toán học mà cả những người bình thường cũng đồng quan điểm. Đó là kết luận từ một nghiên cứu được đăng tải trên tạp chí quốc tế về khoa học nhận thức Cognition số ra tháng này (8/2019).

Vẻ đẹp của toán học không chỉ là vẻ đẹp theo một chiều hướng.

Toán học được đánh giá dưới góc độ thẩm mỹ

Theo đó, những người Mỹ bình thường (không qua đào tạo về toán) cũng đánh giá các công thức toán học về vẻ đẹp của chúng giống như cách họ đánh giá các tác phẩm nghệ thuật hay âm nhạc. Vẻ đẹp của toán học mà họ nhận ra không chỉ là vẻ đẹp theo một chiều hướng. 300 người tham gia được yêu cầu thẩm định cái đẹp cụ thể trong 4 công thức toán khác nhau theo 9 tiêu chí thẩm mỹ như sự tao nhã, sự phức tạp, tính phổ quát….

Câu hỏi về tính thẩm mỹ của toán học bắt đầu khi Stefan Steinerberger - trợ lý giáo sư toán đại học Yale, đồng tác giả nghiên cứu - so sánh một chứng minh anh đang giảng dạy với "một bản sonata Schubert thật hay". Các sinh viên đang học toán ở Yale cũng có một lượng kiến thức ấn tượng về âm nhạc nên sau đó, ba hoặc bốn người đã đến gặp Stefan và hỏi anh liên tưởng đó có nghĩa là gì. Sau một cuộc trao đổi với khoa tâm lý, Stefan được giới thiệu gặp Samuel G.B. Johnson, đồng tác giả nghiên cứu, trợ lý giáo sư ngành marketing trường quản lý đại học Bath. Samuel đang thực hiện luận án tiến sĩ tâm lý tại Yale, nghiên cứu các lập luận và việc ra quyết định, cách con người chúng ta đánh giá những giải thích và công thức khác nhau về vạn vật.

Sau đó, hai người thống nhất cách thiết kế thí nghiệm để kiểm tra giả thiết của Stefan: liệu chúng ta có chia sẻ sự nhạy cảm với cái đẹp của toán như các lĩnh vực khác như nghệ thuật hay âm nhạc không, và ngoài các nhà toán học thì điều này có đúng với người bình thường không.

Nghiên cứu sử dụng 4 công thức (chứng minh) toán học, 4 bức tranh phong cảnh và 4 bản sonata cho đàn piano. Sự tương đồng giữa âm nhạc và toán học đã được chú ý từ lâu nên nhóm tác giả muốn thử nghiệm một lĩnh vực thẩm mỹ khác là nghệ thuật để xem cách chúng ta đánh giá mỹ học có điều gì phổ quát hơn.

Công thức toán học cũng đẹp như những tác phẩm nghệ thuật hay âm nhạc.

Nghiên cứu gồm 3 phần: Trong phần đầu, một nhóm được yêu cầu so khớp 4 công thức toán với 4 bức tranh phong cảnh dựa trên sự tương đồng về mặt thẩm mỹ mà họ nhận ra. Trong phần 2, một nhóm khác so khớp các công thức toán với các bản sonata, và phần 3 là một nhóm khác nữa bình chọn độc lập mỗi cái trong 4 tác phẩm nghệ thuật và 4 công thức toán về 9 tiêu chí khác nhau và tổng điểm cho cái đẹp theo thang từ 0 đến 10.

Các tiêu chí đánh giá được lấy từ bài luận về vẻ đẹp toán học "A Mathematician's Apology" (Lời xin lỗi của một nhà toán học) của G. H. Hardy. G. H. Hardy, tên đầy đủ Godfrey Harold Hardy là nhà toán học Anh quốc rất nổi tiếng trong lĩnh vực giải tích và lý thuyết số với công trình tiêu biểu là giả thuyết Hardy-Littlewood. 6 tiêu chí của Hardy được mở rộng thêm thành 9 tiêu chí: tính nghiêm túc, phổ quát, sâu sắc, mới lạ, rõ ràng, đơn giản, tao nhã, phức tạp, tinh tế.

4 công thức toán được dùng trong nghiên cứu đều khá cơ bản, dễ hiểu. Dưới đây là một trong số đó.

Một công thức tính tổng của một dãy số bằng hình học được dùng để đánh giá vẻ đẹp toán học

Đề bài yêu cầu tính tổng của dãy số vô hạn 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ··· bằng hình học. Chúng ta có thể chứng minh được điều này bằng cách cắt hình vuông trong hình trên thành nhiều mảnh có tổng diện tích bằng 1.

Các công thức toán học được bao nhiêu điểm nghệ thuật

Kết quả bình chọn của nhóm tham gia phần 3 cho thấy, các tác phẩm nghệ thuật và công thức toán có điểm cao về sự tao nhã sẽ dự báo một điểm số cao về cái đẹp. Sau khi xem xét sự tương đồng trong điểm đánh giá của nhóm 3 và nhóm 1 (được yêu cầu công việc đơn giản hơn là so khớp các công thức toán và tác phẩm nghệ thuật có tính thẩm mỹ tương tự nhau), nhóm tác giả bất ngờ vì điểm tương đồng của nhóm 3 có thể dự báo cho kết quả của nhóm 1. Những người tham gia nhóm 3 có sự thống nhất khi cho điểm các công thức và các bức tranh về sự tao nhã, và người tham gia nhóm 1 cũng có khuynh hướng tương tự: các công thức và tranh được nhóm 3 cho là tao nhã nhất đều được nối với nhau trong kết quả của nhóm 1.

Như vậy, những người bình thường không học ngành toán không chỉ có sự trực nhận giống nhau về vẻ đẹp toán học lẫn nghệ thuật mà còn trực nhận được sự tương đồng giữa toán học và nghệ thuật. Nói cách khác, họ cũng thống nhất trong cách đánh giá những yếu tố làm nên cái đẹp, bất chấp là cái đẹp trong lĩnh vực gì.

Xác tác phẩm nghệ thuật và công thức toán có điểm cao về sự tao nhã sẽ dự báo một điểm số cao về cái đẹp.

Stefan hy vọng nghiên cứu được thực hiện lần nữa với những tác phẩm âm nhạc, chứng minh toán và nghệ thuật khác. "Chúng tôi đã chứng minh được hiện tượng này nhưng chúng tôi không biết giới hạn của nó. Nó sẽ không tồn tại ở đâu? Có cần phải là âm nhạc cổ điển? Có cần là các bức tranh về thế giới tự nhiên vốn có tính thẩm mỹ cao?".

Cả hai tác giả đều cho rằng, nghiên cứu này có nhiều ý nghĩa trong giáo dục toán, đặc biệt là ở cấp trung học. Điều đó sẽ tạo ra "những cơ hội làm cho các khía cạnh toán học ngày càng trừu tượng và hình thức trở nên dễ tiếp cận và hứng thú hơn với học sinh trung học", và "cũng có thể hữu ích ở góc độ khuyến khích nhiều người bước vào toán học hơn".

Việc "hiểu rõ điều gì mà con người cho là đẹp trong toán học sẽ giúp bạn hiểu được cách con người hiểu toán ngay từ lúc đầu và cách họ xử lý nó". Và cũng có những cách hiểu tiềm ẩn của con người về câu hỏi này, đó là cách chúng ta thật sự nghĩ về vạn vật với tư cách là con người. Để hiểu được này, chúng ta có "nghĩa vụ" hợp tác với các nhà tâm lý học, Stefan bổ sung.

• Liệu chúng ta có thể trở thành nhà toán học bằng con đường tự học? (Phần 2)
• Liệu chúng ta có thể trở thành nhà toán học bằng con đường tự học? (Phần 1)

Từ khóa liên quan:

ý tưởng toán học

ý tưởng toán học trừu tượng

công thức toán học

vẻ đẹp toán học

Stefan Steinerberger